Les fractales, la Nature et Photoshop!

Changement de registre...

Ca n'arrive pas souvent!

Par mauvais temps, je bricole avec ce logiciel puissant et plein de possibilités créatives, et j'apprends des choses surprenantes!

Les fractales sont un exemple fascinant. Il y a 1000 moyens de réaliser ces fractales: quelques logiciels sont étudiés dans ce but, dont Apophysis.
Mais c'est également réalisable avec Photoshop, d'une certaine manière.

J'ai déjà publié un article proche de ce concept sur la Séquence de Fibonacci, ici:

Ma réalisation avec Photoshop grâce à ce tutoriel (pour ceux qui lisent l'anglais!):
Une fractale est l'image exacte d'un "tout" infini.

Les fleurs comme les tournesols ou les fougères en sont un parfait exemple. J'ai vu une image proche celle-ci sur le net, mais pas le logiciel!
Casse-la... hihihi, non: qu'à cela ne tienne, je l'ai recrée en partant d'une feuille et en la multipliant pour arriver à 8. Assemblées ensuite en étoile, je l'ai dédoublée puis diminuée 3 ou 4 fois en inversant la seconde. J'ai ensuite fusionné les calques en un seul puis je l'ai réduite pour en faire le cœur de la "fleur" avec une coloration rouge puis une jaune.
Réalisé avec Photoshop
La distribution des arbres correspond, à grande échelle, à la structure même d'un arbre,
de même que l'arbre lui-même est une fractale naturelle qui se divise à partir du tronc en segments de + en + petits.
D'un code génétique simple, on peut arriver à une vie infiniment complexe.

Certains scientifiques, partant de ce principe, se sont basés sur le rapport "masse/consommation de CO²" des végétaux pour étudier la complexité et l'évolution des forêts.

Par l'effet fractal, il en découle que de l'étude d'un seul arbre, on peut estimer l'absorption de CO² de toute une forêt!

Certains pensent que presque tout est traduisible en géométrie ou en dimensions fractales. Si c'est le cas, ce pourrait être un trait d'union entre la 2D et la 3D.

Pour voir la construction animée d'une fractale en 3D, voir cette excellente vidéo:
je vous la recommande vivement!

Pour ceux qui sont intéressés par les différentes constructions arborescentes possibles: Voir ce site:



Les possibilités sont donc infinies.

La géométrie fractale est un langage utile pour décrire les formes complexes, et permet la description de processus non linéaires. Ce terme "fractale" est un néologisme créé par Benoît Mandelbrot, un mathématicien français d'origine polonaise, travaillant à l'époque chez IBM aux États-Unis. Il invente en 1974 une nouvelle catégorie de figures géométriques:
les fractales - de la racine latine fractus, qui signifie brisé, irrégulier, partie de...

Exemple de fractale générée artificiellement en 2D:

http://www.syti.net/Fractals.html

Dans la "Théorie de la rugosité" développée par Mandelbrot, une fractale désigne des objets dont la structure reste inchangée par l'évolution de son échelle: une partie du dessin ressemble au dessin en entier.

Pour les matheux, voir ce site très éclairant.
Julia set:

Solkoll, Wikipedia

Les fractales sont partout! De l'univers aux plus petites cavités de nos poumons, en passant par la géographie de nos côtes et jusque dans l'agencement des plumes d'une aile d'oiseau:

Albrecht Dürer


Ma réalisation avec Apophysis

Elles possèdent des formes similaires à différentes échelles et sont autosimilaires: chaque partie de l'objet ressemble à l'objet entier.
Tous les fractales, telles que les ont imaginés les mathématiciens du 20è siècle, ont une caractéristique commune: en effet, elles ont toutes une itération (fait de répéter) qui tend vers l'infini.
Cette itération est un indice noté n=x ou x qui représente le nombre d'étapes lors de la création d'un dessin fractal.
Ainsi le "Flocon de neige" composé de trois courbes, de Von Koch obtient une progression qui tend vers l'infini:

Wikipedia

L'indice N augmente de 1 à chaque figure.

La courbe ci-dessous représente l'augmentation de la surface du flocon en fonction de l'augmentation des itérations :
Sur le schéma ci-dessous, on observe que plus les itérations augmentent, plus l'aire du flocon augmente. Cependant, au bout d'un grand nombre d'itérations, on s'aperçoit que la courbe devient presque horizontale c'est a dire que l'aire n'augmente presque plus!

Wikipedia

Ma réalisation avec Apophysis

Ma réalisation avec Apophysis

Et enfin la célèbre Illustration en 3D de l'itération à 4 niveaux de l'"Eponge de Menger"
par le simple système de Lindenmayer:


Wikipedia

Noushka

The Fibonacci sequence in Nature

....named after Leonardo of Pisa, a thirteenth century mathematician, known as Fibonacci. His book Liber Abaci written in 1202 introduced the sequence to Western European mathematics, although the sequence may have been previously described in Indian mathematics.

Exponential Fibonacci numbers appear in biological settings, such as branching in trees, arrangement of leaves on a stem, the fruit spouts of pineapples, the flowering of artichoke, an uncurling fern, the arrangement of a pine cone, etc. They are used in the analysis of financial markets, in strategies such as Fibonacci retracement, and are used in computer algorithms such as the Fibonacci search technique and the Fibonacci heap data structure.

The simple recursion of Fibonacci numbers has also inspired a family of recursive graphs called Fibonacci cubes for interconnecting parallel and distributed systems.

This is how it can conjugated:

A tiling with squares whose sides are successive Fibonacci numbers in length:


The golden spiral: A Fibonacci spiral created by drawing arcs connecting the opposite corners of squares in the Fibonacci tiling:


Cutaway of a nautilus shell showing the chambers arranged in an approximately logarithmic spiral:

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In mathematics, the Fibonacci numbers are the numbers in the following integer sequence:

Each term in this sequence is simply the sum of the two preceding terms and sequence continues infinitely...

1+1=2
1+2=3

2+3=5
3+5=8

But this sequence is not all that important; rather, it is the quotient of the adjacent terms that possesses an amazing proportion, roughly 1.618, or its inverse 0.618.

This proportion is known by many names: the golden ratio, the golden mean, PHI and the divine proportion, among others.
It is found by dividing one number in the series by the number that follows it. For example: 8/13 = 0.6153, and 55/89 = 0.6179.

So, why is this number so important?
Well, almost everything has dimensional properties that adhere to the ratio of 1.618, so it seems to have a fundamental function for the building blocks of nature. Take honeybees, for example. If you divide the female bees by the male bees in any given hive, you will get 1.618.

This same ratio can be seen in relationships between different components throughout nature. The same goes with a human arm that divides into the PHI sequence from the shoulder - through the elbow than hand - right to the finger tips! Sunflowers, which have opposing spirals of seeds, have a 1.618 ratio between the diameters of each rotation:

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Romanesco cauliflower:

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Ferns:


Pine cones:


And even cyclones as this one, evolving offshore Iceland:

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The arms of spiral galaxies too often have the shape of a logarithmic spiral, here the Whirlpool Galaxy:

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A section of the Mandelbrot set following a logarithmic spiral:

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Do yourself a favour... Even if you have little time, go and watch this video on You Tube from filmmaker Cristobal Vila: "Nature by Numbers,"... It's truly beautiful and fantastic!!

Compiled by Noushka

La séquence de Fibonacci dans la nature

J'ai commencé à préparer cet article qui me semble intéressant il y a déjà un moment et il m'a fallu du temps pour le compléter et le rendre compréhensible, même et surtout pour moi!! :))

Cette séquence est ainsi nommée d'après Leonardo de Pise, un mathématicien du treizième siècle, connu sous le nom de Fibonacci. Dans son livre "Liber Abaci" écrit en 1202, il l'a présentée aux mathématiques de l'Europe occidentale, bien qu'elle ait été précédemment décrite dans des mathématiques indiennes.

Les nombres Exponentiels de Fibonacci apparaissent dans des figures biologiques, comme l'embranchement des arbres, l'arrangement des feuilles sur une tige, les dessins géométrique des ananas, la floraison de l'artichaut, une pousse de fougère qui se déroule, les graines en spirale d'une pomme de pin, etc. Ces nombres sont même utilisés dans la stratégie et l'analyse des marchés financiers et sont utilisés dans des algorithmes informatiques comme la technique de recherche de Fibonacci et la structure de données des tas de Fibonacci.

La récursivité simple des nombres de Fibonacci a aussi inspiré un ordre de graphiques récursifs appelés Fibonacci des cubes pour connecter des systèmes parallèles et distribués.
Voici comment cette récursivité est conjuguée en cubes ou carrés :

Cette séquence est également représentée par la spirale d'or qui connecte les côtés opposés de ses rectangles progressifs:



Coupe transversale d'un coquillage de Nautile montrant le cloisonnement évolutif et logarithmique de la spirale:

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Voici en mathematiques, la séquence chiffrée de Fibonacci:

Le résultat de chaque addition est la somme des 2 derniers chiffres dans la séquence, et ceci à l'infini:

1+1= 2
1+2= 3

2+3= 5
3+5= 8 5+8=13

Mais ce n'est pas cette séquence qui est si importante; plutôt, c'est le quotient des termes adjacents qui possède une proportion incroyable: environ 1.618 ou son contraire: 0.618.

Cette proportion est connue sous plusieurs termes: le Nombre d'Or, PHI, la Divine Proportion. On la retrouve en divisant un nombre de la séquence par celui qui le suit; exemple: 8/13 = 0.6153, ou 55/89 = 0.6179.

Pourquoi ce chiffre est-il si important?
Presque tout dans la nature contient cette dimension proportionnelle qui coll au ratio 1.618, Ce qui prouve qu'il a une fonction fondamentale dans les structures naturelles. Prenons le cas des abeilles: si l'on divise le nombre de femelles par le nombre de mâles quelle que soit la ruche, on obtient toujours le ration de
1.618. Ce même ratio se retrouve dans les proportions du corps humain, un bras par exemple, depuis l'épaule au coude puis à main, celle-ci se divisant à nouveau dans ces mêmes proportions!
Les tournesols sont un parfait exemple de spirales opposées dans la plantation des graines dans le cœur. elles ont ce ration de 1.618 entre les diamètres de chaque courbe:

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Chou Romanesco:
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Fougères:

Pommes de pin:

Et même ce cyclone ayant évolué près de l'Islande:

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Les bras des spirales des galaxies ont aussi bien souvent la forme d'une spirale logarithmique; ici la Galaxie du Tourbillon:

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Section d'une fractale Mandelbrot, suite à un calcul logarithmique:

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Même si vous avez peu de temps, allez voir cette video sur You Tube par le cinéaste Cristobal Vila: "Nature by Numbers,"... C'est véritablement fantastique et magnifique!!

Compiled by Noushka